Упр.2.20 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 7 класс, Просвещение: 20 Докажите, что биссектрисы вертикальных углов лежат на одной прямой.

Пусть $$\angle(a_1a_2)$$ и $$\angle(b_1b_2)$$ — вертикальные углы, а лучи $$c_1$$ и $$c_2$$ — их биссектрисы.

Так как углы $$\angle(a_1a_2)$$ и $$\angle(a_1b_1)$$ смежные, то

$$\angle(a_1b_1)=180^\circ-\angle(a_1a_2).$$

Вертикальные углы равны, значит

$$\angle(b_1b_2)=\angle(a_1a_2).$$

По свойству биссектрисы:

$$\angle(b_1c_2)=\frac12\angle(b_1b_2)=\frac12\angle(a_1a_2),$$

$$\angle(a_1c_1)=\frac12\angle(a_1a_2).$$

Тогда угол между биссектрисами равен

$$ \angle(c_1c_2)=\angle(c_1a_1)+\angle(a_1b_1)+\angle(b_1c_2). $$

Подставим найденные значения:

$$ \angle(c_1c_2)=\frac12\angle(a_1a_2)+\left(180^\circ-\angle(a_1a_2)\right)+\frac12\angle(a_1a_2)=180^\circ. $$

Следовательно, угол между биссектрисами развернутый, а значит, полупрямые $$c_1$$ и $$c_2$$ лежат на одной прямой.

Ответ

Биссектрисы вертикальных углов лежат на одной прямой.