Упр.7.20 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
- Докажите, что расстояние между любыми двумя точками на сторонах треугольника не больше большей из его сторон.
Пусть $$ABC$$ — данный треугольник, причём $$AC$$ — его большая сторона. Возьмём любые две точки $$X$$ и $$D$$, лежащие на сторонах треугольника.
Если точки $$X$$ и $$D$$ лежат на одной стороне, то утверждение очевидно: расстояние между ними не превосходит длины этой стороны, а значит, не больше большей стороны треугольника.
Рассмотрим случай, когда $$X \in AB$$, а $$D \in CB$$. Тогда в треугольнике $$CXB$$ по неравенству треугольника имеем
$$XD<XB+BD.$$
Но точка $$D$$ лежит на стороне $$CB$$, поэтому расстояние $$XD$$ не может быть больше большей из сторон треугольника $$CXB$$. Следовательно, по задаче 7.19 для треугольника $$CXB$$ получаем:
$$XD<XB \quad \text{или} \quad XD<XC.$$
Так как $$X$$ лежит на отрезке $$AB$$, то
$$XB<AB.$$
Значит, в первом случае
$$XD<AB.$$
С другой стороны, в треугольнике $$ABC$$ по задаче 7.19 имеем
$$CX<AC \quad \text{или} \quad CX<CB.$$
Поскольку $$AC$$ — наибольшая сторона треугольника, то в любом случае
$$CX<AC.$$
Следовательно, во втором случае
$$XD<AC.$$
Итак, расстояние между любыми двумя точками, лежащими на сторонах треугольника, меньше большей из его сторон. Тем самым утверждение доказано.
