Упр.13.20 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Дано: в окружность радиусом 4 дм вписан правильный треугольник,
на стороне которого построен квадрат;
Найти: радиус окружности, описанной около квадрата;
Решение:
1) Найдем сторону треугольника (она же является стороной квадрата),
воспользовавшись формулой из задачи 13.16.
2) Найдем радиус окружности, описанной около квадрата по формуле
из контрольного вопроса №10.

Подробный ответ

Пусть сторона правильного треугольника равна $$a$$. Для правильного треугольника, вписанного в окружность радиуса $$4$$ дм, имеем

$$a=2R\sin 60^\circ=2\cdot 4\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}\text{ дм}.$$

Эта же сторона является стороной квадрата, значит, сторона квадрата равна $$4\sqrt{3}$$ дм.

Радиус окружности, описанной около квадрата, равен половине его диагонали:

$$d=a\sqrt{2}=4\sqrt{3}\cdot \sqrt{2}=4\sqrt{6}\text{ дм},$$

следовательно,

$$R=\frac{d}{2}=\frac{4\sqrt{6}}{2}=2\sqrt{6}\text{ дм}.$$