Упр.2.20 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Докажите, что биссектрисы вертикальных углов лежат на одной прямой.

Пусть $$\angle(a_1a_2)$$ и $$\angle(b_1b_2)$$ — вертикальные углы, а лучи $$c_1$$ и $$c_2$$ — их биссектрисы.

Так как вертикальные углы равны, то

$$\angle(b_1b_2)=\angle(a_1a_2).$$

Биссектриса делит угол пополам, значит

$$\angle(b_1c_2)=\frac12\angle(b_1b_2), \qquad \angle(a_1c_1)=\frac12\angle(a_1a_2).$$

Кроме того, углы $$\angle(a_1a_2)$$ и $$\angle(a_1b_1)$$ смежные, поэтому

$$\angle(a_1b_1)=180^\circ-\angle(a_1a_2).$$

Тогда угол между биссектрисами равен

$$\angle(c_1c_2)=\angle(c_1a_1)+\angle(a_1b_1)+\angle(b_1c_2)$$

$$=\frac12\angle(a_1a_2)+\left(180^\circ-\angle(a_1a_2)\right)+\frac12\angle(a_1a_2)=180^\circ.$$

Следовательно, лучи $$c_1$$ и $$c_2$$ образуют развернутый угол, то есть лежат на одной прямой.

Ответ

Биссектрисы вертикальных углов лежат на одной прямой.