Упр.3.20 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
- Докажите, что у равнобедренного треугольника:
1) биссектрисы, проведённые из вершин при основании, равны;
2) медианы, проведённые из тех же вершин, тоже равны.
1) Пусть $$ABC$$ — равнобедренный треугольник, $$BB_1$$ и $$AA_1$$ — биссектрисы углов при основании.
В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, значит $$\angle A=\angle B$$.
Так как $$BB_1$$ и $$AA_1$$ — биссектрисы, то
$$\angle ABB_1=\frac12\angle B,\qquad \angle BAA_1=\frac12\angle A.$$
Следовательно, $$\angle ABB_1=\angle BAA_1$$. Кроме того, $$AB$$ — общая сторона.
Значит, треугольники $$ABB_1$$ и $$ABA_1$$ равны по второму признаку, откуда
$$BB_1=AA_1.$$
2) Пусть теперь $$BB_1$$ и $$AA_1$$ — медианы треугольника $$ABC$$.
В равнобедренном треугольнике $$AC=BC$$ и $$\angle A=\angle B$$.
Так как $$BB_1$$ и $$AA_1$$ — медианы, то
$$AB_1=\frac12 AC,\qquad BA_1=\frac12 BC.$$
Но $$AC=BC$$, значит $$AB_1=BA_1$$.
Тогда треугольники $$ABB_1$$ и $$ABA_1$$ равны по первому признаку: $$AB$$ — общая сторона, $$BB_1=AA_1$$? Wait. Need correct. Actually for triangles ABB1 and ABA1, sides AB common, AB1 = BA1, and included angles at B? Let’s fix. Use triangles A B B1 and B A A1? Need angle at B and A equal. Since B1 lies on AC, A1 lies on BC, then angle ABB1 = angle ABC? No. Better use triangles ABB1 and BAA1? Let’s craft with sides AB common, AB1=BA1, and angle BAA1 = angle ABB1? Since B1 on AC, angle ABB1 is angle between AB and BB1, not known. Better use triangles ABB1 and BAA1 with included angle at A/B? Hmm original solution says triangles ABB1 and ABA1 by first criterion using AB common and AB1=BA1 and angle A = angle B? Actually triangles ABB1 and ABA1 have sides AB common, BB1? No. Let’s instead use triangles ABB1 and BAA1? Need a clean proof: Since B1 midpoint of AC and A1 midpoint of BC, in triangles ABC and ACB? Simpler: consider triangles ABB1 and BAA1? Not enough. Let’s use triangles ABB1 and ABA1 with AB common, AB1=BA1, and angle AB1B? no. Hmm. Better: Since B1 on AC and A1 on BC, triangles ABB1 and ABA1 have AB common, AB1 = BA1, and angle BAB1 = angle AB A1? Not true. Let’s avoid this and use symmetry: In isosceles triangle, medians from base endpoints are equal because triangles ABB1 and ABA1 are congruent by SAS if we take AB common, AC=BC implies AB1=BA1, and included angle between AB and AB1 equals angle between BA and BA1? Since AB1 lies on AC, angle BAB1 = angle BAC; BA1 lies on BC, angle ABA1 = angle ABC; these are equal. Great. So use triangles ABB1 and BAA1? Let’s write carefully.
Так как $$B_1\in AC$$ и $$A_1\in BC$$, то
$$\angle BAB_1=\angle BAC,\qquad \angle ABA_1=\angle ABC.$$
А поскольку $$\angle BAC=\angle ABC$$, то $$\angle BAB_1=\angle ABA_1$$.
Имеем также $$AB$$ — общая сторона и $$AB_1=BA_1$$. Следовательно, треугольники $$ABB_1$$ и $$BAA_1$$ равны по первому признаку, значит
$$BB_1=AA_1.$$
Таким образом, и биссектрисы, и медианы, проведённые из вершин при основании равнобедренного треугольника, равны.
