Упр.13.20 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

В окружность радиусом $$4\ \text{дм}$$ вписан правильный треугольник, на стороне которого построен квадрат. Найдите радиус окружности, описанной около квадрата.

Пусть сторона правильного треугольника равна $$a$$. Для правильного треугольника, вписанного в окружность радиуса $$4$$ дм, имеем

$$a=2R\sin 60^\circ=2\cdot 4\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}\text{ дм}.$$

Это же сторона квадрата. Радиус окружности, описанной около квадрата, равен половине его диагонали:

$$r=\frac{a\sqrt{2}}{2}.$$

Тогда

$$r=\frac{4\sqrt{3}\cdot \sqrt{2}}{2}=2\sqrt{6}\text{ дм}.$$

Ответ: $$2\sqrt{6}\text{ дм}$$.