Вопрос 20 Параграф 11 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
Докажите свойства отрезков пересекающихся хорд и свойства отрезков секущих.
I) Доказать: если хорды $$AB$$ и $$CD$$ окружности пересекаются в точке $$S$$, то $$AS\cdot BS=CS\cdot DS$$.
II) Доказать: если из точки $$P$$ к окружности проведены две секущие, пересекающие окружность в точках $$A$$, $$B$$ и $$C$$, $$D$$ соответственно, то $$AP\cdot BP=CP\cdot DP$$.
Рассмотрим оба свойства.
I. Пересекающиеся хорды
Пусть хорды $$AB$$ и $$CD$$ окружности пересекаются в точке $$S$$. Докажем, что
$$AS\cdot BS=CS\cdot DS.$$
Рассмотрим треугольники $$ASD$$ и $$CSB$$.
- Вписанные углы $$DAB$$ и $$DCB$$ опираются на одну и ту же хорду $$DB$$, значит $$\angle DAB=\angle DCB$$.
- Углы $$ASD$$ и $$BSC$$ — вертикальные, значит $$\angle ASD=\angle BSC$$.
Следовательно, треугольники $$ASD$$ и $$CSB$$ подобны по двум углам. Тогда
$$\frac{DS}{BS}=\frac{AS}{CS}.$$
Перемножая крест-накрест, получаем
$$AS\cdot BS=CS\cdot DS.$$
II. Две секущие из одной точки
Пусть из точки $$P$$ к окружности проведены две секущие, пересекающие её в точках $$A, B$$ и $$C, D$$ соответственно, причём точки $$A$$ и $$C$$ ближе к точке $$P$$. Докажем, что
$$AP\cdot BP=CP\cdot DP.$$
Рассмотрим треугольники $$PAD$$ и $$PCB$$.
- Вписанные углы $$ABC$$ и $$ADC$$ опираются на одну хорду $$AC$$, значит $$\angle ABC=\angle ADC$$.
- Углы $$PAD$$ и $$PCB$$ являются внешними углами соответствующих треугольников и равны как углы, образованные теми же секущими и хордой $$AC$$.
Следовательно, треугольники $$PAD$$ и $$PCB$$ подобны по двум углам. Тогда
$$\frac{PA}{PC}=\frac{PD}{PB}.$$
Отсюда
$$PA\cdot PB=PC\cdot PD.$$
