Вопрос 20 Параграф 9 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Докажите, что если полупрямые $$a$$ и $$b$$ одинаково направлены и полупрямые $$b$$ и $$c$$ одинаково направлены, то полупрямые $$a$$ и $$c$$ тоже одинаково направлены.

Пусть параллельный перенос, задаваемый формулами

$$x’ = x + m,\qquad y’ = y + n$$

переводит полупрямую $$a$$ в полупрямую $$b$$, а параллельный перенос, задаваемый формулами

$$x» = x’ + m_1,\qquad y» = y’ + n_1$$

переводит полупрямую $$b$$ в полупрямую $$c$$.

Рассмотрим параллельный перенос

$$x» = x + m + m_1,\qquad y» = y + n + n_1.$$

Докажем, что он переводит полупрямую $$a$$ в полупрямую $$c$$.

Пусть $$(x; y)$$ — произвольная точка полупрямой $$a$$. Тогда по первому переносу точка $$(x+m; y+n)$$ принадлежит полупрямой $$b$$. Но так как полупрямая $$b$$ переходит в полупрямую $$c$$ при втором переносе, то точка

$$(x+m+m_1;\; y+n+n_1)$$

принадлежит полупрямой $$c$$.

Следовательно, перенос, заданный формулами

$$x» = x + m + m_1,\qquad y» = y + n + n_1,$$

переводит полупрямую $$a$$ в полупрямую $$c$$. Значит, полупрямые $$a$$ и $$c$$ одинаково направлены.