Вопрос 2 Параграф 7 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Докажите, что косинус угла зависит только от градусной меры угла и не зависит от расположения и размеров треугольника.

Пусть $$ABC$$ и $$A’B’C’$$ — два прямоугольных треугольника с одним и тем же острым углом $$\alpha$$ при вершинах $$A$$ и $$A’$$. Докажем, что отношение $$\dfrac{AC}{AB}$$ зависит только от величины угла $$\alpha$$.

Построим треугольник $$AB_1C_1$$, равный треугольнику $$A’B’C’$$. Тогда $$AC_1=A’C’$$ и $$AB_1=A’B’$$.

Так как $$BC\perp AC$$ и $$B_1C_1\perp AC$$, то $$BC\parallel B_1C_1$$.

Следовательно, треугольники $$ABC$$ и $$AB_1C_1$$ подобны, а значит, соответствующие стороны пропорциональны:

$$\frac{AC_1}{AB_1}=\frac{AC}{AB}.$$

Подставляя равные отрезки $$AC_1=A’C’$$ и $$AB_1=A’B’$$, получаем:

$$\frac{A’C’}{A’B’}=\frac{AC}{AB}.$$

Значит, для всех прямоугольных треугольников с одним и тем же углом $$\alpha$$ отношение $$\dfrac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}}$$ одно и то же. Следовательно, синус угла зависит только от его градусной меры и не зависит от расположения и размеров треугольника.