Упр.11.2 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Дано: при гомотетии точка X переходит в точку X’;
Построить: центр гомотетии, если коэффициент гомотетии равен 2;
Построение:
1) Пусть X и X’-данные точки;
2) Проведем прямую XX’;
3) Из точки X проведем окружность радиуса XX’, на пересечении этой
окружности и прямой XX’ отметим точку O, отличную от X’, тогда:
XX’=R и OX’=2R;
4) Таким образом, точка X’ лежит на луче OX и OX’=2•OX, значит
точка O-центр гомотетии с коэффициентом 2 (по определению).

Подробный ответ

Пусть $$X$$ и $$X’$$ — данные точки. Проведём прямую $$XX’$$.

При коэффициенте гомотетии $$k=2$$ точка $$X’$$ должна лежать на луче $$OX$$ и выполняться соотношение $$OX’=2\cdot OX$$.

Построим точку $$O$$ на прямой $$XX’$$ так, чтобы $$X$$ была серединой отрезка $$OX’$$. Для этого из точки $$X$$ проведём окружность радиуса $$XX’$$; её пересечение с прямой $$XX’$$, отличное от $$X’$$, обозначим через $$O$$.

Тогда $$XX’=OX$$, а значит

$$OX’=OX+XX’=2\cdot OX.$$

Следовательно, точка $$O$$ является центром гомотетии, переводящей $$X$$ в $$X’$$ при коэффициенте $$2$$.