Упр.3.2 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Через середину $$O$$ отрезка $$AB$$ проведена прямая, перпендикулярная прямой $$AB$$ (рис. 57). Докажите, что каждая точка $$X$$ этой прямой одинаково удалена от точек $$A$$ и $$B$$.

Подробный ответ

Пусть $$X$$ — произвольная точка данной прямой. Тогда $$XO \perp AB$$, а значит $$\angle AOX=\angle BOX=90^\circ$$.

Так как $$O$$ — середина отрезка $$AB$$, то $$AO=OB$$. Кроме того, $$XO$$ — общая сторона треугольников $$AXO$$ и $$BXO$$.

Следовательно, $$\triangle AXO \cong \triangle BXO$$ по двум сторонам и углу между ними: $$AO=OB$$, $$XO$$ — общая, $$\angle AOX=\angle BOX$$.

Из равенства треугольников получаем $$AX=BX$$. Значит, каждая точка данной прямой одинаково удалена от точек $$A$$ и $$B$$.