Упр.4.2 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Докажите, что если две прямые пересекаются, то любая третья прямая пересекает по крайней мере одну из этих прямых.

Пусть прямые $$a$$ и $$b$$ пересекаются в точке $$A$$.

Предположим противное: прямая $$c$$ не пересекает ни прямую $$a$$, ни прямую $$b$$. Тогда $$c \parallel a$$ и $$c \parallel b$$.

Но через точку $$A$$ проходит только одна прямая, параллельная данной прямой $$c$$. Получается, что через точку $$A$$ проходят две различные прямые, параллельные $$c$$, а это невозможно.

Следовательно, наше предположение неверно. Значит, прямая $$c$$ пересекает хотя бы одну из прямых $$a$$ или $$b$$, что и требовалось доказать.