Вопрос 2 Параграф 7 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Доказать: косинус угла зависит только от градусной меры угла и не
зависит от расположения и размеров треугольника;
Доказательство:
1) Пусть ABC и A’ B’ C’-два прямоугольных треугольника с одним и
тем же углом при вершиах A и A’, равным a; докажем, что
sina=(A’ C’)/(A’ B’)=AC/AB;
2) Построим треугольник AB1 C1, равный треугольнику A’ B’ C’, как
показано на рисунке;
3) Так как BC перпендикулярен AC и B1 C1 перпендикулярен AC, то BC||B1 C1;
4) По теореме о пропорциональных отрезках: (AC1)/(AB1)=AC/AB;
5) Так как по построению AC1=A’ C’ и AB1=A’ B’, то (A’ C’)/(A’ B’)=AC/AB, что и требовалось доказать.

Подробный ответ

Пусть $$ABC$$ и $$A’B’C’$$ — два прямоугольных треугольника с одним и тем же острым углом $$\alpha$$ при вершинах $$A$$ и $$A’$$. Докажем, что

$$\cos \alpha=\frac{A’C’}{A’B’}=\frac{AC}{AB}.$$

Построим треугольник $$AB_1C_1$$, равный треугольнику $$A’B’C’$$, как показано на рисунке.

Так как $$BC \perp AC$$ и $$B_1C_1 \perp AC$$, то $$BC \parallel B_1C_1$$.

Следовательно, треугольники $$ABC$$ и $$AB_1C_1$$ подобны, и по теореме о пропорциональных отрезках

$$\frac{AC_1}{AB_1}=\frac{AC}{AB}.$$

Но по построению $$AC_1=A’C’$$ и $$AB_1=A’B’$$. Тогда

$$\frac{A’C’}{A’B’}=\frac{AC}{AB}.$$

Значит, значение косинуса угла зависит только от градусной меры угла и не зависит от расположения и размеров треугольника.