Упр.13.2 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Решите задачу 1 при условии, что $$d

Пусть $$O_1$$ и $$O_2$$ — центры окружностей радиусов $$R_1$$ и $$R_2$$ соответственно, причём $$O_1O_2=d$$.

Так как $$d<R_1-R_2$$, то окружность с центром $$O_2$$ целиком лежит внутри окружности с центром $$O_1$$ и окружности не пересекаются.

Найдём наименьшее расстояние между точками $$X$$ и $$Y$$ этих окружностей. Для любой ломаной $$XO_1O_2Y$$ по неравенству треугольника имеем:

$$XO_1 \le XY+YO_2+O_2O_1.$$

Так как $$XO_1=R_1$$, $$YO_2=R_2$$, $$O_2O_1=d$$, то

$$R_1 \le XY+R_2+d,$$

откуда

$$XY \ge R_1-R_2-d.$$

Значит, наименьшее расстояние равно $$R_1-R_2-d$$.

Теперь найдём наибольшее расстояние. Для ломаной $$XO_1O_2Y$$ снова получаем:

$$XY \le XO_1+O_1O_2+O_2Y.$$

Подставляя значения, имеем

$$XY \le R_1+d+R_2.$$

Следовательно, наибольшее расстояние равно $$R_1+R_2+d$$.

Ответ: наибольшее расстояние $$R_1+R_2+d$$, наименьшее расстояние $$R_1-R_2-d$$.