Вопрос 2 Параграф 13 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Докажите, что длина ломаной не меньше длины отрезка, соединяющего её концы.

Пусть дана ломаная $$A_1A_2A_3\dots A_n$$. Заменим два её звена $$A_1A_2$$ и $$A_2A_3$$ одним звеном $$A_1A_3$$. По неравенству треугольника

$$A_1A_3 \le A_1A_2 + A_2A_3.$$

Значит, новая ломаная $$A_1A_3A_4\dots A_n$$ имеет длину, не большую длины исходной ломаной.

Аналогично, заменяя звенья $$A_1A_3$$ и $$A_3A_4$$ звеном $$A_1A_4$$, получаем ломаную $$A_1A_4A_5\dots A_n$$, длина которой также не больше прежней. Продолжая этот процесс, в конце концов получим отрезок $$A_1A_n$$.

Следовательно, длина исходной ломаной не меньше длины отрезка, соединяющего её концы:

$$A_1A_2 + A_2A_3 + \dots + A_{n-1}A_n \ge A_1A_n.$$