Упр.12.2 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

У треугольника две стороны равны $$5\ \text{м}$$ и $$6\ \text{м}$$, а синус угла между ними равен $$0{,}6$$. Найдите третью сторону.

Обозначим искомую третью сторону через $$BC$$. Тогда по теореме косинусов

$$BC^2=AB^2+AC^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos \angle A.$$

Из условия $$AB=5$$ м, $$AC=6$$ м, $$\sin \angle A=0{,}6$$.

Найдём косинус угла:

$$\cos^2 \angle A=1-\sin^2 \angle A=1-0{,}6^2=1-0{,}36=0{,}64,$$

значит

$$\cos \angle A=\pm 0{,}8.$$

Подставим в формулу косинусов:

$$BC^2=5^2+6^2-2\cdot 5\cdot 6\cdot (\pm 0{,}8)=25+36\mp 48.$$

Получаем два возможных значения:

$$BC^2=61-48=13,$$

или

$$BC^2=61+48=109.$$

Следовательно,

$$BC=\sqrt{13}$$ или $$BC=\sqrt{109}.$$

Ответ: $$\sqrt{13}$$ или $$\sqrt{109}$$.