Вопрос 2 Параграф 14 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Доказать: площадь прямоугольника равна произведению его сторон;
Доказательство:
1) Пусть ABCD и AB1 C1 D-два прямоугольника с общим основанием AD;
2) Пусть S и S1-площади прямоугольников, докажем что: S/S1 =AB/(AB1 );
3) Разобьем отрезок AB на большое число n равных частей, каждая из
них равна: AB/n;
4) Пусть m-число точек деления, которые лежат на отрезке AB1, тогда:
(AB/n)•m < AB1 < (AB/n)•(m+1); Отсюда, разделив на AB, получим: m/n < (AB1)/AB < m/n+1/n (*); 5) Проведем через точки деления прямые, параллельные основанию AD, они разобьют прямоугольник ABCD на n равных прямоугольников, каждый из них имеет площадь S/n (первое и второе свойство площади); 6) Прямоугольник AB1 C1 D содержит первые m прямоугольников, считая от основния AD, и содержится в (m+1) прямоугольниках, поэтому: (S/n)•m < S1 < (S/n)•(m+1 ); Отсюда, разделив на S1, получим: m/n < S1/S < m/n+1/n (**); 7) Из неравенств (*) и (**) следует, что оба числа (AB1)/AB и S1/S заключены между числами m/n и m/n+1/n, поэтому они отличаются не более чем на 1/n; 8) Так как n можно взять сколь угодно большим, то это различие может быть сколь угодно малым, поэтому: (AB1)/AB=S1/S; 9) Возьмем квадрат, являющийся единицей площади, прямоугольник со сторонами 1 и a, а также прямоугольник со сторонами a и b; 11) Сравнивая их площади, по доказанному будем иметь: S'/1=a/1 и S/S' =b/1; 12) Перемножая эти равенства почленно, получим: S'/1•S/S' =a/1•b/1 = > S=ab, что и требовалось доказать.

Пусть $$ABCD$$ и $$AB_1C_1D$$ — два прямоугольника с общим основанием $$AD$$. Обозначим их площади через $$S$$ и $$S_1$$. Докажем, что

$$\frac{S}{S_1}=\frac{AB}{AB_1}.$$

Разобьём отрезок $$AB$$ на большое число $$n$$ равных частей, каждая из которых равна $$\frac{AB}{n}$$. Пусть $$m$$ — число точек деления, лежащих на отрезке $$AB_1$$. Тогда

$$\frac{AB}{n}\cdot m<AB_1<\frac{AB}{n}\cdot (m+1).$$

Разделив на $$AB$$, получим

$$\frac{m}{n}<\frac{AB_1}{AB}<\frac{m}{n}+\frac{1}{n}\qquad (*).$$

Проведём через точки деления прямые, параллельные основанию $$AD$$. Они разобьют прямоугольник $$ABCD$$ на $$n$$ равных прямоугольников, каждый из которых имеет площадь $$\frac{S}{n}$$.

Прямоугольник $$AB_1C_1D$$ содержит первые $$m$$ таких прямоугольников и содержится в $$m+1$$ прямоугольниках, поэтому

$$\frac{S}{n}\cdot m<S_1<\frac{S}{n}\cdot (m+1).$$

Отсюда, разделив на $$S$$, получим

$$\frac{m}{n}<\frac{S_1}{S}<\frac{m}{n}+\frac{1}{n}\qquad (**).$$

Из неравенств $$(*)$$ и $$(**)$$ следует, что числа $$\frac{AB_1}{AB}$$ и $$\frac{S_1}{S}$$ заключены между одними и теми же числами $$\frac{m}{n}$$ и $$\frac{m}{n}+\frac{1}{n}$$, значит, их разность может быть сколь угодно малой. Следовательно,

$$\frac{AB_1}{AB}=\frac{S_1}{S}.$$

Теперь возьмём квадрат единичной площади, прямоугольник со сторонами $$1$$ и $$a$$, а также прямоугольник со сторонами $$a$$ и $$b$$. Тогда по доказанному

$$\frac{S’}{1}=\frac{a}{1}, \qquad \frac{S}{S’}=\frac{b}{1}.$$

Перемножая эти равенства, получаем

$$\frac{S’}{1}\cdot \frac{S}{S’}=\frac{a}{1}\cdot \frac{b}{1},$$

откуда

$$S=ab.$$

Значит, площадь прямоугольника равна произведению его сторон.

Ответ

$$S=ab$$.