Вопрос 2 Параграф 9 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
- Докажите, что точки, лежащие на прямой, при движении переходят в точки, лежащие на прямой, и сохраняется порядок их взаимного расположения.
Пусть точки $$A$$, $$B$$ и $$C$$ лежат на одной прямой, причём точка $$B$$ находится между точками $$A$$ и $$C$$. Тогда
$$AC=AB+BC.$$
При движении расстояния сохраняются, значит для образов этих точек имеем
$$A_1B_1=AB,\quad B_1C_1=BC,\quad A_1C_1=AC.$$
Следовательно,
$$A_1C_1=A_1B_1+B_1C_1.$$
Предположим, что точки $$A_1$$, $$B_1$$ и $$C_1$$ не лежат на одной прямой. Тогда они являются вершинами треугольника, а значит, по неравенству треугольника
$$A_1C_1<A_1B_1+B_1C_1.$$
Это противоречит полученному равенству. Значит, точки $$A_1$$, $$B_1$$ и $$C_1$$ лежат на одной прямой.
Кроме того, из равенства
$$A_1C_1=A_1B_1+B_1C_1$$
следует, что точка $$B_1$$ лежит между точками $$A_1$$ и $$C_1$$. Итак, при движении точки, лежащие на прямой, переходят в точки, лежащие на прямой, и порядок их взаимного расположения сохраняется.
