Упр.7.19 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

На стороне $$AB$$ треугольника $$ABC$$ взята точка $$X$$. Докажите, что отрезок $$CX$$ меньше по крайней мере одной из сторон $$AC$$ или $$BC$$.

Подробный ответ

Проведём из точки $$C$$ высоту $$CD$$ к прямой $$AB$$, где $$D \in AB$$.

Точка $$X$$ лежит на отрезке $$AB$$, значит она находится либо на отрезке $$AD$$, либо на отрезке $$DB$$.

Рассмотрим два случая.

Если $$X \in AD$$, то $$DX < AD$$. В прямоугольных треугольниках $$CDX$$ и $$CDA$$ имеем общий катет $$CD$$ и второй катет $$DX < AD$$, значит гипотенуза $$CX < CA$$.
Если $$X \in DB$$, то $$DX < DB$$. В прямоугольных треугольниках $$CDX$$ и $$CDB$$ имеем общий катет $$CD$$ и второй катет $$DX < DB$$, значит гипотенуза $$CX < CB$$.

Следовательно, отрезок $$CX$$ меньше по крайней мере одной из сторон $$AC$$ или $$BC$$, что и требовалось доказать.