Вопрос 19 Параграф 6 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Докажите, что средняя линия трапеции равна полусумме оснований.

Пусть $$ABCD$$ — данная трапеция с основаниями $$AB$$ и $$CD$$. Проведём через вершину $$B$$ и середину $$P$$ боковой стороны $$CD$$ прямую, которая пересечёт прямую $$AD$$ в точке $$E$$.

Рассмотрим треугольники $$PBC$$ и $$PED$$. Имеем:

• $$CP=DP$$ — по построению;
• $$\angle CPB=\angle DPE$$ — как вертикальные;
• $$\angle PCB=\angle PDE$$ — как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых $$BC$$ и $$AD$$ и секущей $$CD$$.

Следовательно, $$\triangle PBC=\triangle PED$$ по второму признаку равенства треугольников. Отсюда

$$PB=PE,\qquad BC=DE.$$

Значит, $$PQ$$ — средняя линия треугольника $$ABE$$, поэтому

$$PQ\parallel AE,\qquad PQ=\frac12 AE.$$

Но

$$AE=AD+DE=AD+BC.$$

Тогда

$$PQ=\frac12(AD+BC).$$

Так как $$AD=AB$$ и $$BC=CD$$ — основания трапеции, получаем:

$$PQ=\frac12(AB+CD).$$