Упр.5.19 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
- Докажите, что в любой треугольник можно вписать окружность, и только одну.
Рассмотрим произвольный треугольник $$ABC$$.
Проведём биссектрисы углов $$A$$ и $$B$$. Они пересекутся в точке $$O$$, так как биссектрисы двух углов треугольника не параллельны.
Из точки $$O$$ опустим перпендикуляры на стороны треугольника:
$$OA_1 \perp BC,\quad OB_1 \perp AC,\quad OC_1 \perp AB.$$
Рассмотрим прямоугольные треугольники $$AOB_1$$ и $$AOC_1$$. У них:
$$AO$$ — общая гипотенуза,
$$\angle OAB=\angle CAO,$$
значит, треугольники равны по гипотенузе и острому углу. Отсюда
$$OB_1=OC_1.$$
Аналогично, из равенства прямоугольных треугольников $$BOA_1$$ и $$BOC_1$$ получаем
$$OA_1=OC_1.$$
Следовательно,
$$OA_1=OB_1=OC_1.$$
Значит, точки $$A_1$$, $$B_1$$ и $$C_1$$ лежат на окружности с центром в точке $$O$$ и радиусом, равным расстоянию от $$O$$ до любой стороны треугольника. Так как радиусы этой окружности перпендикулярны сторонам треугольника, то все три стороны $$AB$$, $$BC$$ и $$CA$$ касаются этой окружности. Следовательно, в треугольник $$ABC$$ можно вписать окружность.
Теперь докажем, что такая окружность только одна. Из равенства прямоугольных треугольников $$COB_1$$ и $$COA_1$$ следует, что
$$\angle B_1CO=\angle OCA_1,$$
то есть точка $$O$$ лежит и на биссектрисе угла $$C$$. Значит, все биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.
Центр вписанной окружности — это точка пересечения биссектрис, а такая точка единственна. Следовательно, вписанная окружность в треугольник существует и только одна.
Ответ
В любой треугольник можно вписать окружность, и притом только одну.
