Вопрос 19 Параграф 6 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Отобразим условие задачи:
Доказать: средняя линия трапеции равна полусумме оснований;
Доказательство:
1) Пусть ABCD-данная трапеция с основаниями AB и CD;
2) Проведем через вершину B и середину P боковой стороны CD прямую,
она пересечет прямую AD в некоторой точке E;
3) Рассмотрим треугольники PBC и PED:
CP=DP (по построению), угол CPB = углу DPE (как вертикальные) и
угол PCB = углу PDE (как внутренние накрест лежащие при параллельных
прямых BC и AD и секущей CD), значит треугольник PBC=треугольник PED (по второму
признаку), отсюда PB=PE и BC=DE;
4) Значит, средняя линия PQ данной трапеции является средней линией
треугольника ABE, следовательно, согласно теореме 6.7:
PQ||AE и PQ=1/2 AE=1/2 (AD+DE)=1/2 (AD+BC), ч.и т.д.

Подробный ответ

Пусть $$ABCD$$ — данная трапеция, у которой $$AB \parallel CD$$. Обозначим через $$P$$ середину боковой стороны $$CD$$ и проведём через вершину $$B$$ прямую, пересекающую прямую $$AD$$ в точке $$E$$.

Рассмотрим треугольники $$PBC$$ и $$PED$$. Имеем:

$$CP=DP$$ — по построению;
$$\angle CPB=\angle DPE$$ — как вертикальные;
$$\angle PCB=\angle PDE$$ — как внутренние накрест лежащие при $$BC \parallel AD$$ и секущей $$CD$$.

Следовательно, $$\triangle PBC=\triangle PED$$ по второму признаку равенства треугольников. Отсюда

$$PB=PE,\qquad BC=DE.$$

Значит, точка $$P$$ — середина стороны $$BE$$, а отрезок, соединяющий середины сторон $$CD$$ и $$BE$$, является средней линией треугольника $$ABE$$. Обозначим эту среднюю линию через $$PQ$$.

По теореме о средней линии треугольника:

$$PQ \parallel AE,\qquad PQ=\frac12 AE.$$

Но

$$AE=AD+DE=AD+BC.$$

Тогда

$$PQ=\frac12(AD+BC).$$

Так как $$AD$$ и $$BC$$ — основания трапеции, то средняя линия трапеции равна полусумме оснований.