Упр.13.19 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Сторона правильного вписанного в окружность треугольника равна $$a$$. Найдите сторону квадрата, вписанного в эту окружность.

Сторона правильного треугольника, вписанного в окружность, выражается через радиус этой окружности формулой

$$a=2R\sin 60^\circ.$$

Тогда

$$a=2R\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=R\sqrt{3},$$

откуда

$$R=\frac{a}{\sqrt{3}}.$$

Теперь найдём сторону квадрата, вписанного в ту же окружность. Для квадрата

$$b=2R\sin 45^\circ.$$

Подставим найденное значение радиуса:

$$b=2\cdot \frac{a}{\sqrt{3}}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=a\sqrt{\frac{2}{3}}.$$

Ответ: $$a\sqrt{\frac{2}{3}}$$