Упр.9.19 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Выяснить: сколько осей симметрии у равностороннего треугольника;
Решение:
1) Пусть ABC-равносторонний треугольник;
2) Как было доказано в предыдущей задаче, если у треугольника
имеется ось симметрии, то этот треугольник равнобедренный, а ось
симметрии проходит через вершину, противолежащую основанию и
середину основания;
3) Равносторонний треугольник ABC можно рассмотреть как
равнобедренный треугольник:
— С основанием AB, тогда ось симметрии проходит через середину
стороны AB и через вершину C;
— С основанием BC, тогда ось симметрии проходит через середину
стороны BC и через вершину A;
— С основанием AC, тогда ось симметрии проходит через середину
стороны AC и через вершину B;
4) Таким образом, треугольник ABC имеет три оси симметрии;
Ответ: три.

Подробный ответ

Пусть $$ABC$$ — равносторонний треугольник.

Если у треугольника есть ось симметрии, то он равнобедренный, а ось симметрии проходит через вершину, противолежащую основанию, и середину основания.

Рассмотрим равносторонний треугольник как равнобедренный с разными основаниями:

с основанием $$AB$$ — тогда ось симметрии проходит через вершину $$C$$ и середину стороны $$AB$$;
с основанием $$BC$$ — тогда ось симметрии проходит через вершину $$A$$ и середину стороны $$BC$$;
с основанием $$AC$$ — тогда ось симметрии проходит через вершину $$B$$ и середину стороны $$AC$$.

Значит, у равностороннего треугольника три оси симметрии.