Вопрос 19 Параграф 11 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Сформулируйте и докажите теорему об угле между хордой и касательной к окружности.

Пусть из точки $$B$$ к окружности с центром $$O$$ проведены касательная $$AB$$ и хорда $$BC$$. Докажем, что

$$\angle ABC=\frac12\angle BOC.$$

Проведём диаметр $$BD$$. Тогда радиус $$OB$$ перпендикулярен касательной $$AB$$, значит

$$\angle ABD=90^\circ.$$

Рассмотрим центральный угол $$\angle BOC$$. Так как точки $$B, O, D$$ лежат на одной прямой, то

$$\angle BOC=180^\circ-\angle COD.$$

Угол $$\angle CBD$$ — вписанный, опирающийся на дугу $$CD$$, поэтому

$$\angle COD=2\angle CBD.$$

Тогда

$$\angle CBD=\frac{180^\circ-\angle BOC}{2}=90^\circ-\frac12\angle BOC.$$

Теперь возможны два случая.

1. Если луч $$BC$$ лежит внутри угла $$ABD$$, то

   $$\angle ABC=\angle ABD-\angle CBD.$$

   Подставим найденное значение:

   $$\angle ABC=90^\circ-\left(90^\circ-\frac12\angle BOC\right)=\frac12\angle BOC.$$

2. Если луч $$BC$$ лежит вне угла $$ABD$$, то угол между хордой и касательной равен смежному с $$\angle ABC$$ углу. Тогда

   $$\alpha=180^\circ-\angle ABC.$$

   Но в этом случае

   $$\angle ABC=\angle ABD+\angle CBD=90^\circ+\left(90^\circ-\frac12\angle BOC\right)=180^\circ-\frac12\angle BOC,$$

   следовательно,

   $$\alpha=180^\circ-\left(180^\circ-\frac12\angle BOC\right)=\frac12\angle BOC.$$

В обоих случаях угол между хордой и касательной равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Теорема доказана.

Ответ: $$\angle ABC=\frac12\angle BOC.$$