Упр.7.19 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Дано: на стороне AB треугольника ABC взята точка X;
Доказать: отрезок CX меньше, по крайней мере одной из сторон- AC
или BC;
Доказательство:
1) Проведем высоту CD треугольника;
2) Возможны два случая:
— Отрезок DX меньше отрезка AD (если точка X лежит на отрезке AD);
— Отрезок DX меньше отрезка BD (если точка X лежит на отрезке BD);
3) В любом случае, отрезок CX будет меньше по крайней мере одного из
отрезков AC или BC, так как его проекция на прямую AB имеет меньшую
длину, что и требовалось доказать.

Подробный ответ

Проведём высоту $$CD$$ треугольника $$ABC$$ к прямой $$AB$$, где $$D \in AB$$.

Рассмотрим точку $$X$$ на стороне $$AB$$.

Если $$X$$ лежит между $$A$$ и $$D$$, то $$DX<AD$$. Тогда в прямоугольных треугольниках $$CDX$$ и $$CDA$$ имеем общий катет $$CD$$ и второй катет $$DX<AD$$, значит, по теореме Пифагора

$$CX^2=CD^2+DX^2<CD^2+AD^2=CA^2,$$

следовательно, $$CX<CA$$.

Если же $$X$$ лежит между $$D$$ и $$B$$, то $$DX<DB$$. Аналогично, из прямоугольных треугольников $$CDX$$ и $$CDB$$ получаем

$$CX^2=CD^2+DX^2<CD^2+DB^2=CB^2,$$

значит, $$CX<CB$$.

Итак, в любом случае отрезок $$CX$$ меньше по крайней мере одной из сторон $$AC$$ или $$BC$$.