Упр.15.18 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Дано: в прямой треугольной призме стороны основания равны 10 см,
17 см и 21 см, а высота равна 18 см;
Найти: площадь сечения, проведенного через боковое ребро и меньшую
высоту основания;
Решение:
1) Пусть ABCA1 B1 C1-данная прямая треугольная призма, у которой:
AB=10 см, AC=17 см и BC=21 см;
2) Боковые ребра прямой призмы являются высотами, значит:
AA1=18 см;
3) Найдем площадь треугольника ABC по формуле Герона:
p=(10+17+21)/2=48/2=24 см;
SABC=v(24•(24-10)•(24-17)•(24-21) )=v(24•14•7•3)=
=v(8•3•7•2•7•3)=3•7•v(8•2)=21v16=21•4=84 см^2;
4) В треугольнике ABC сторона BC наибольшая, значит наименьшая
высота проведена к этой стороне, опустим эту высоту AH, тогда:
SABC=1/2•BC•AH, отсюда AH=(2SABC)/BC=(2•84)/21=8 см;
5) Из точки H опустим перпендикуляр HH1 на ребро B1 C;
6) Прямая AA1 перпендикулярна плоскости A1 B1 C1,значит она перпен-
дикулярна и отрезку B1 C1,лежащему в этой плоскости;
7) AA1?B1 C1 и HH1 перпендикулярен B1 C1,следовательно HH1||AA1;
8) Через прямые HH1 и AA1 можно провести плоскость, она пересечет
параллельные основания призмы по прямым AH и A1 H1,значит:
AH?A1 H1;
9) Таким образом, параллелограмм AA1 H1 H-искомое сечение:
уголAHH1=уголHH1 A1=90°, значит AA1 H1 H-прямоугольник;
10) Тогда площадь сечения равна:
S=AH•AA1=8•18=144 см^2;
Ответ: 144 см^2.

Подробный ответ

Обозначим данную прямую треугольную призму как $$ABCA_1B_1C_1$$, где $$AB=10$$ см, $$AC=17$$ см, $$BC=21$$ см, а высота призмы $$AA_1=18$$ см.

Найдём площадь основания $$\triangle ABC$$ по формуле Герона:

$$ p=\frac{10+17+21}{2}=24 $$
$$ S_{ABC}=\sqrt{p(p-10)(p-17)(p-21)}=\sqrt{24\cdot 14\cdot 7\cdot 3} $$
$$ S_{ABC}=\sqrt{8\cdot 3\cdot 7\cdot 2\cdot 7\cdot 3}=21\sqrt{16}=84\ \text{см}^2 $$

Наибольшая сторона треугольника $$ABC$$ — это $$BC$$, значит меньшая высота основания проведена к стороне $$BC$$. Обозначим её $$AH$$. Тогда

$$ S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot BC\cdot AH $$
$$ AH=\frac{2S_{ABC}}{BC}=\frac{2\cdot 84}{21}=8\ \text{см} $$

Сечение проходит через боковое ребро и меньшую высоту основания, значит его стороны равны $$AA_1$$ и $$AH$$. Так как призма прямая, то $$AA_1\perp (ABC)$$, следовательно $$AA_1\perp AH$$. Значит, сечение — прямоугольник.

Тогда его площадь равна:

$$ S=AA_1\cdot AH=18\cdot 8=144\ \text{см}^2 $$