Упр.5.18 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Окружность, вписанная в треугольник \(ABC\), касается его сторон в точках \(A_1\), \(B_1\), \(C_1\) (рис. 109). Докажите, что $$AC_1=\frac{AB+AC-BC}{2}.$$

Обозначим $$AB_1=x,$$ $$BC_1=y,$$ $$CA_1=z.$$

Так как окружность вписана в треугольник $$ABC,$$ то отрезки касательных, проведённых из одной точки, равны:

$$AB_1=AC_1,\quad BA_1=BC_1,\quad CA_1=CB_1.$$

Следовательно,

$$AB=x+y,\quad AC=x+z,\quad BC=y+z.$$

Тогда

$$AB+AC-BC=(x+y)+(x+z)-(y+z)=2x.$$

Но $$x=AB_1=AC_1,$$ значит

$$AB+AC-BC=2AC_1.$$

Отсюда

$$AC_1=\frac{AB+AC-BC}{2}.$$