Вопрос 18 Параграф 9 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Доказать: каковы бы ни были две точки A и A’, существует один и только
один параллельный перенос, при котором точка A переходит в точку A’;
Доказательство:
1) Введем декартовы координаты на плоскости, пусть числа a1 и a2-
координаты точки A, а числа a1′ и a2′-координаты точки A’;
2) Параллельный перенос, заданный формулами
x’=x+a1′-a1 и y’=y+a2′-a2;
переводит точку A в точку A’;
3) При x=a1 и y=a2, получаем x’=a1′ и y’=a2′;
4) Докажем единственность параллельного переноса:
Пусть X-произвольная точка фигуры и X’-точка, в которую она
переходит при параллельном переносе;
5) По свойству параллельного переноса AA’ ||XX’ и AA’=XX’, значит
AA’ X’ X-параллелограмм с диагоналями AX’ и A’ X;
6) По свойству параллелограмма: отрезки AX’ и A’ X имеют общую
середину O;
7) Задание точки X однозначно определяет точку O-середину
отрезка A’ X;
8) Точки A и O однозначно определяют точку X’, так как точка O является
серединой отрезка AX’;
9) Однозначность в определении точки X’ и означает единственность
параллельного переноса, что и требовалось доказать.

Подробный ответ

Пусть точки $$A$$ и $$A’$$ имеют координаты $$A(a_1,a_2)$$ и $$A'(a_1′,a_2′)$$.

Рассмотрим параллельный перенос, заданный формулами

$$x’ = x + a_1′ — a_1, \qquad y’ = y + a_2′ — a_2.$$

При $$x=a_1$$ и $$y=a_2$$ получаем

$$x’ = a_1′, \qquad y’ = a_2′,$$

то есть точка $$A$$ переходит в точку $$A’$$. Следовательно, такой параллельный перенос существует.

Докажем единственность. Пусть произвольная точка $$X$$ переходит в точку $$X’$$ при некотором параллельном переносе, переводящем $$A$$ в $$A’$$. Тогда

$$AA’ \parallel XX’ \qquad \text{и} \qquad AA’ = XX’.$$

Значит, четырёхугольник $$AA’X’X$$ — параллелограмм. Его диагонали $$AX’$$ и $$A’X$$ пересекаются и делятся пополам в одной точке $$O$$.

Точка $$X$$ однозначно определяет точку $$O$$ как середину отрезка $$A’X$$. В свою очередь, точки $$A$$ и $$O$$ однозначно определяют точку $$X’$$, так как $$O$$ является серединой отрезка $$AX’$$.

Следовательно, для каждой точки $$X$$ образ $$X’$$ определяется однозначно, а значит, параллельный перенос, переводящий $$A$$ в $$A’$$, единственен.