Вопрос 18 Параграф 4 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
- Докажите, что из любой точки, не лежащей на данной прямой, можно опустить на эту прямую перпендикуляр, и только один.
Пусть $$a$$ — данная прямая, а $$A$$ — точка, не лежащая на ней.
Проведём через произвольную точку прямой $$a$$ прямую, перпендикулярную $$a$$. Затем через точку $$A$$ проведём прямую $$b$$, параллельную этой прямой. Тогда по свойству параллельных прямых прямая $$b$$ тоже перпендикулярна прямой $$a$$.
Пусть $$B$$ — точка пересечения прямых $$a$$ и $$b$$. Тогда отрезок $$AB$$ является перпендикуляром, опущенным из точки $$A$$ на прямую $$a$$.
Докажем, что такой перпендикуляр единственный. Предположим, что из точки $$A$$ можно опустить на прямую $$a$$ ещё один перпендикуляр $$AC$$, где $$C \in a$$. Тогда в треугольнике $$ABC$$ углы при вершинах $$B$$ и $$C$$ прямые, то есть получаются два прямых угла в одном треугольнике. Это невозможно.
Следовательно, из любой точки, не лежащей на данной прямой, можно опустить на эту прямую перпендикуляр, и притом только один.
