Упр.3.18 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
- Докажите, что середины сторон равнобедренного треугольника являются также вершинами равнобедренного треугольника.
- Докажите, что середины сторон равностороннего треугольника являются также вершинами равностороннего треугольника.
Обозначим середины сторон треугольника $$ABC$$ точками $$A_1,\;B_1,\;C_1$$ так, что $$A_1$$ — середина $$BC$$, $$B_1$$ — середина $$CA$$, $$C_1$$ — середина $$AB$$.
1) Пусть $$ABC$$ — равнобедренный треугольник, $$AB=BC$$.
Тогда $$\angle BAC=\angle BCA$$.
Так как $$B_1$$ и $$C_1$$ — середины сторон $$CA$$ и $$AB$$, то
$$CB_1=B_1A,\qquad AC_1=C_1B.$$
Рассмотрим треугольники $$AC_1B_1$$ и $$CA_1B_1$$. У них:
- $$AC_1=C_1B$$ и $$CA_1=A_1B$$, так как $$C_1$$ и $$A_1$$ — середины соответствующих сторон;
- $$\angle AC_1B_1=\angle CA_1B_1$$, поскольку эти углы опираются на равные углы при основании равнобедренного треугольника.
Следовательно, треугольники $$AC_1B_1$$ и $$CA_1B_1$$ равны по двум сторонам и углу между ними. Отсюда
$$C_1B_1=A_1B_1.$$
Значит, треугольник $$A_1B_1C_1$$ равнобедренный.
2) Пусть $$ABC$$ — равносторонний треугольник.
Тогда $$AB=BC=CA$$ и $$\angle BAC=\angle BCA=\angle CBA$$.
Так как $$A_1,\;B_1,\;C_1$$ — середины сторон, то
$$AB_1=B_1C,\qquad BC_1=C_1A,\qquad CA_1=A_1B.$$
Рассмотрим треугольники $$B_1C_1A$$, $$B_1A_1C$$ и $$C_1A_1B$$. В них соответственно:
- $$B_1C_1$$ и $$C_1A$$, $$C_1A_1$$ и $$A_1B$$, $$A_1B_1$$ и $$B_1C$$ — равные половины равных сторон;
- углы между этими сторонами равны, так как все углы исходного треугольника равны.
Следовательно, эти треугольники равны, а значит
$$A_1B_1=B_1C_1=C_1A_1.$$
Итак, треугольник $$A_1B_1C_1$$ равносторонний.
Ответ
1) Середины сторон равнобедренного треугольника являются вершинами равнобедренного треугольника. 2) Середины сторон равностороннего треугольника являются вершинами равностороннего треугольника.
