Вопрос 18 Параграф 11 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Докажите, что угол, вершина которого лежит вне окружности, а стороны пересекают окружность, равен полуразности двух центральных углов, которым соответствуют дуги окружности, заключённые между сторонами данного угла.

Пусть вершина $$B$$ угла $$ABC$$ лежит вне окружности, а стороны $$BA$$ и $$BC$$ пересекают окружность в точках $$K$$ и $$D$$ соответственно.

Тогда углы $$\angle ADC$$ и $$\angle KAD$$ — вписанные, поэтому

$$\angle ADC=\frac12\angle AOC,\qquad \angle KAD=\frac12\angle KOD.$$

Рассмотрим треугольник $$ADB$$. Угол $$\angle ADC$$ является внешним углом этого треугольника, значит

$$\angle ADC=\angle BAD+\angle ABD.$$

Отсюда

$$\angle ABD=\angle ADC-\angle BAD.$$

Так как $$\angle BAD=\angle KAD$$, то

$$\angle ABC=\angle ABD=\angle ADC-\angle KAD.$$

Подставляя найденные выражения для вписанных углов, получаем

$$\angle ABC=\frac12\angle AOC-\frac12\angle KOD=\frac12\left(\angle AOC-\angle KOD\right).$$

Следовательно, угол, вершина которого лежит вне окружности, равен половине разности двух центральных углов, соответствующих дугам, заключённым между его сторонами.