Упр.9.18 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Докажите, что если у треугольника есть ось симметрии, то:

1. она проходит через одну из его вершин;
2. треугольник равнобедренный.

Пусть у треугольника $$ABC$$ есть ось симметрии $$a$$. Рассмотрим отражение относительно прямой $$a$$.

Пусть вершина $$A$$ переходит в вершину $$B$$. Тогда прямая $$a$$ является серединным перпендикуляром к отрезку $$AB$$.

Докажем, что $$a$$ проходит через третью вершину $$C$$.

Предположим противное: прямая $$a$$ не проходит ни через одну из вершин треугольника $$ABC$$. Тогда точка $$C$$ переходит в некоторую точку $$C’$$. При отражении относительно $$a$$ отрезок $$CC’$$ перпендикулярен $$a$$, а так как $$AB \perp a$$, то $$CC’ \parallel AB$$.

Но точка $$C’$$ должна лежать на одной из сторон треугольника, отличной от $$AB$$. Тогда в треугольнике получаются две параллельные стороны, что невозможно. Следовательно, наше предположение неверно, и прямая $$a$$ проходит через вершину $$C$$.

Теперь докажем, что треугольник $$ABC$$ равнобедренный. Так как $$a$$ — серединный перпендикуляр к $$AB$$ и проходит через $$C$$, то точка пересечения $$O=a\cap AB$$ является серединой отрезка $$AB$$, то есть

$$AO=OB,$$

а также

$$CO \perp AB.$$

Значит, $$CO$$ одновременно является медианой и высотой треугольника $$ABC$$. Следовательно, $$\triangle ABC$$ равнобедренный, причём

$$AC=BC.$$

Ответ: ось симметрии треугольника проходит через одну из его вершин; треугольник равнобедренный.