Вопрос 18 Параграф 9 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Докажите существование и единственность параллельного переноса, переводящего данную точку в другую данную точку.

Введём на плоскости декартовы координаты. Пусть точка $$A$$ имеет координаты $$\left(a_1,a_2\right)$$, а точка $$A’$$ — координаты $$\left(a_1′,a_2’\right)$$.

Рассмотрим параллельный перенос, заданный формулами

$$x’=x+a_1′-a_1,\qquad y’=y+a_2′-a_2.$$

При $$x=a_1$$ и $$y=a_2$$ получаем $$x’=a_1’$$ и $$y’=a_2’$$, значит, этот перенос переводит точку $$A$$ в точку $$A’$$. Следовательно, существование такого параллельного переноса доказано.

Докажем единственность. Пусть произвольная точка $$X$$ переходит при параллельном переносе в точку $$X’$$. Тогда по свойству параллельного переноса

$$AX \parallel A’X’,\qquad AX=A’X’.$$

Значит, четырёхугольник $$AXX’A’$$ является параллелограммом. Диагонали параллелограмма пересекаются и делятся пополам, поэтому отрезки $$AX’$$ и $$A’X$$ имеют общую середину $$O$$.

Точка $$X$$ однозначно определяет точку $$O$$ как середину отрезка $$A’X$$. В свою очередь, точки $$A$$ и $$O$$ однозначно определяют точку $$X’$$, так как $$O$$ — середина отрезка $$AX’$$. Значит, каждой точке $$X$$ соответствует единственная точка $$X’$$.

Следовательно, параллельный перенос, переводящий точку $$A$$ в точку $$A’$$, существует и единственен.