Упр.7.17 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Докажите, что если треугольник имеет стороны $$a$$, $$b$$, $$c$$ и $$a^2+b^2=c^2$$, то угол, противолежащий стороне $$c$$, прямой.

Пусть $$ABC$$ — данный треугольник, причём $$AB=c$$, $$BC=a$$, $$AC=b$$ и $$a^2+b^2=c^2$$.

Построим прямоугольный треугольник $$A_1B_1C_1$$ так, чтобы $$A_1C_1=b$$, $$B_1C_1=a$$ и $$\angle C_1=90^\circ$$.

По теореме Пифагора для треугольника $$A_1B_1C_1$$ имеем:

$$A_1B_1^2=A_1C_1^2+B_1C_1^2=b^2+a^2=c^2.$$

Следовательно, $$A_1B_1=c=AB$$.

Итак, в треугольниках $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$ попарно равны все три стороны:

$$AB=A_1B_1,\quad BC=B_1C_1,\quad AC=A_1C_1.$$

Значит, эти треугольники равны по трём сторонам. Тогда соответствующие углы равны, поэтому

$$\angle C=\angle C_1=90^\circ.$$

Следовательно, угол, противолежащий стороне $$c$$, прямой.