Упр.6.17 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. В параллелограмме $$ABCD$$ точка $$E$$ — середина стороны $$BC$$, а $$F$$ — середина стороны $$AD$$. Докажите, что четырёхугольник $$BEDF$$ — параллелограмм.

Так как $$ABCD$$ — параллелограмм, то $$BC=AD$$ и $$BC\parallel AD$$.

Точки $$E$$ и $$F$$ — середины отрезков $$BC$$ и $$AD$$, значит

$$BE=CE,\qquad AF=FD.$$

Поскольку $$BC=AD$$, получаем

$$BE=\frac{BC}{2}=\frac{AD}{2}=FD.$$

Рассмотрим треугольники $$BEF$$ и $$DFE$$. У них:

$$BE=FD,$$

$$BF=DE$$

как соответствующие стороны равных треугольников $$ABF$$ и $$CED$$, и

$$EF$$ — общая сторона.

Следовательно, треугольники $$BEF$$ и $$DFE$$ равны по трём сторонам. Тогда

$$\angle BFE=\angle FED.$$

Эти углы — накрест лежащие при прямых $$BF$$ и $$ED$$ и секущей $$FE$$, значит

$$BF\parallel ED.$$

Кроме того, из равенства треугольников $$ABF$$ и $$CED$$ получаем

$$\angle BAF=\angle DCE.$$

Но $$AF\parallel AD$$, $$CE\parallel BC$$, а в параллелограмме $$AD\parallel BC$$, значит

$$BF\parallel AD,\qquad ED\parallel BC,$$

откуда

$$BE\parallel FD.$$

Итак, в четырёхугольнике $$BEDF$$ обе пары противоположных сторон параллельны, следовательно, $$BEDF$$ — параллелограмм.