Упр.6.17 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Дано: ABCD-параллелограмм; точка E-середина BC; точка
F-середина AD;
Доказать: BEDF-параллелограмм;
Доказательство:
1) ABCD-параллелограмм, значит AB=CD, BC=AD и угол BAD = углу BCD;
2) Так как BC=AD, а точки F и E середины этих отрезков, то
BE=CE=DF=AF;
3) Треугольники ABF и CED равны по первому признаку, отсюда
BF=ED;
4) Треугольники BEF и DEF равны по третьему признаку (сторона
EF-общая), отсюда угол BFE = углу FED;
5) Углы BFE и FED являются внутренними накрест лежащими при
прямых BF и ED и секущей FE, значит эти прямые параллельны;
6) BF||ED и BE||FD (так как ABCD-параллелограмм), следовательно
BRFD является параллелограммом по определению, что и требовалось
Доказать.

Подробный ответ

Рассмотрим параллелограмм $$ABCD$$. Тогда $$AB=CD$$, $$BC=AD$$, а также $$AB \parallel CD$$ и $$BC \parallel AD$$.

Так как $$E$$ — середина стороны $$BC$$, а $$F$$ — середина стороны $$AD$$, то

$$BE=CE,\qquad AF=FD.$$

Поскольку в параллелограмме $$BC=AD$$, получаем

$$BE=CE=\frac{BC}{2},\qquad AF=FD=\frac{AD}{2},$$

следовательно, $$BE=FD$$.

Рассмотрим треугольники $$ABF$$ и $$CED$$. Имеем:

$$AB=CD,$$

$$AF=DE,$$

$$\angle BAF=\angle CDE$$

как углы между параллельными прямыми $$AB \parallel CD$$ и $$AF \parallel DE$$.