Упр.9.17 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
- Докажите, что прямая, содержащая медиану равнобедренного треугольника, проведённую к основанию, является осью симметрии треугольника.
Пусть $$ABC$$ — равнобедренный треугольник с основанием $$AB$$, а $$CM$$ — его медиана, проведённая к основанию. Тогда $$AM=MB$$.
В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является одновременно биссектрисой и высотой. Значит, $$\angle ACM=\angle MCB$$ и $$CM\perp AB$$.
Из равенства $$AM=MB$$ и перпендикулярности $$CM$$ к $$AB$$ следует, что точки $$A$$ и $$B$$ симметричны относительно прямой $$CM$$.
Теперь рассмотрим любую точку $$X$$ отрезка $$AB$$. Прямая $$CM$$ пересекает отрезок $$AB$$ в точке $$M$$ под прямым углом, поэтому точка, симметричная $$X$$ относительно $$CM$$, тоже лежит на отрезке $$AB$$. Следовательно, весь отрезок $$AB$$ симметричен сам себе относительно прямой $$CM$$.
Кроме того, так как $$CM$$ — биссектриса угла $$C$$, то стороны $$CA$$ и $$CB$$ симметричны относительно этой прямой.
Итак, каждая точка треугольника $$ABC$$ при отражении относительно прямой $$CM$$ переходит в точку того же треугольника. Значит, прямая, содержащая медиану $$CM$$, является осью симметрии равнобедренного треугольника.
