Упр.5.17 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Доказать: центр вписанной в равносторонний треугольник окружности
совпадает с центром окружности, описанной около этого треугольника;
Доказательство:
1) Пусть ABC-данный равносторонний треугольник;
2) Проведем биссектрисы AA1 и CC1, они пересекутся в точке O, которая
является центром вписанной в треугольник окружности (теорема 5.2);
3) Так как треугольник равносторонний, то биссектрисы AA1 и CC1
являются также медианами и высотами, тогда AA1 и CC1-серединные
перпендикуляры сторон CB и AB, значит точка их пересечения O
является центром описанной около треугольник ABC окружности, что и требовалось
Доказать.

Пусть $$ABC$$ — данный равносторонний треугольник.

Проведём биссектрисы $$AA_1$$ и $$CC_1$$. Они пересекутся в точке $$O$$, которая является центром вписанной в треугольник окружности.

Так как треугольник равносторонний, то его биссектрисы одновременно являются медианами и высотами. Значит, $$AA_1$$ и $$CC_1$$ — серединные перпендикуляры к сторонам $$CB$$ и $$AB$$ соответственно.

Точка пересечения серединных перпендикуляров равноудалена от вершин треугольника, следовательно, $$O$$ является центром окружности, описанной около треугольника $$ABC$$.

Итак, центр вписанной окружности совпадает с центром описанной окружности.