Вопрос 16 Параграф 6 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Докажите, что средняя линия треугольника равна половине соответствующей стороны.

Подробный ответ

Пусть в треугольнике $$ABC$$ точки $$E$$ и $$D$$ — середины сторон $$AC$$ и $$BC$$ соответственно, то есть $$AE=EC$$ и $$BD=DC$$. Тогда отрезок $$ED$$ — средняя линия треугольника.

Проведём через точку $$D$$ прямую, параллельную стороне $$AB$$. По теореме Фалеса она пересечёт сторону $$AC$$ в её середине. Значит, эта прямая совпадает с прямой $$ED$$, то есть $$ED \parallel AB$$.

Теперь проведём через точку $$E$$ прямую $$EF$$, параллельную стороне $$BC$$. Тогда точка $$F$$ лежит на стороне $$AB$$ и, по теореме Фалеса, $$F$$ — середина $$AB$$, то есть $$AF=FB=\frac12 AB$$.

Четырёхугольник $$AEDF$$ — параллелограмм, так как $$AE \parallel DF$$ и $$ED \parallel AF$$. В параллелограмме противоположные стороны равны, значит

$$ED=AF=\frac12 AB.$$

Следовательно, средняя линия треугольника равна половине соответствующей стороны.