Упр.5.16 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Из одной точки проведены две касательные к окружности (рис. 108). Докажите, что отрезки касательных $$MP$$ и $$MQ$$ равны.
Докажите, что через одну точку не может проходить больше двух касательных к окружности.

Подробный ответ

1) Пусть из точки $$M$$ к окружности проведены касательные $$MP$$ и $$MQ$$, точки касания — $$P$$ и $$Q$$, центр окружности — $$O$$.

Так как касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания, то

$$\angle OPM=90^\circ,\qquad \angle OQM=90^\circ.$$

Кроме того, $$OP=OQ$$ как радиусы одной и той же окружности, а $$OM$$ — общая гипотенуза прямоугольных треугольников $$OPM$$ и $$OQM$$.

Следовательно, $$\triangle OPM \cong \triangle OQM$$ по гипотенузе и катету. Значит, соответствующие стороны равны:

$$MP=MQ.$$

2) Докажем, что через одну точку не может проходить больше двух касательных к окружности.

Пусть через точку $$M$$ вне окружности проходят три касательные, касающиеся окружности в точках $$A$$, $$B$$ и $$C$$. Тогда по доказанному в пункте 1 получаем:

$$MA=MB,\qquad MB=MC,\qquad MA=MC.$$

Значит, точки $$A$$, $$B$$ и $$C$$ лежат на окружности с центром в точке $$M$$ и радиусом $$MA$$. Но две окружности не могут иметь более двух общих точек. Противоречие.

Следовательно, через одну точку можно провести не более двух касательных к окружности.