Упр.15.16 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Расстояния от точки $$A$$ до вершин квадрата равны $$a$$. Найдите расстояние от точки $$A$$ до плоскости квадрата, если сторона квадрата равна $$b$$.

Пусть $$MKNF$$ — данный квадрат, а $$O$$ — основание перпендикуляра, опущенного из точки $$A$$ на плоскость квадрата. Тогда

$$MK=KN=NF=FM=b,$$

и по условию

$$AM=AK=AN=AF=a.$$

Так как $$AO \perp$$ плоскости квадрата, то треугольники $$AOM, AOK, AON, AOF$$ прямоугольные. Из равенства гипотенуз $$AM=AK=AN=AF$$ и общего катета $$AO$$ следует, что

$$OM=OK=ON=OF.$$

Значит, точка $$O$$ равноудалена от всех вершин квадрата, то есть является центром описанной окружности. Тогда

$$OM=R=\frac{b}{\sqrt{2}}.$$

Теперь в прямоугольном треугольнике $$AOM$$ по теореме Пифагора:

$$AO^2=AM^2-OM^2$$

$$AO^2=a^2-\left(\frac{b}{\sqrt{2}}\right)^2=a^2-\frac{b^2}{2}.$$

Следовательно,

$$AO=\sqrt{a^2-\frac{b^2}{2}}.$$

Ответ: $$\sqrt{a^2-\frac{b^2}{2}}$$.