Упр.13.16 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Найдите выражения для стороны $$a_n$$ правильного $$n$$-угольника через радиус $$R$$ описанной около него окружности и радиус $$r$$ вписанной окружности. Вычислите $$a_n$$ при $$n=3, 4, 6$$.

Пусть $$a_n$$ — сторона правильного $$n$$-угольника.

Из формул для правильного многоугольника получаем:

$$R=\frac{a_n}{2\sin\frac{180^\circ}{n}}, \qquad r=\frac{a_n}{2\tan\frac{180^\circ}{n}}.$$

Отсюда

$$a_n=2R\sin\frac{180^\circ}{n}, \qquad a_n=2r\tan\frac{180^\circ}{n}.$$

При $$n=3$$

$$a_3=2R\sin 60^\circ=2R\cdot\frac{\sqrt3}{2}=R\sqrt3,$$

$$a_3=2r\tan 60^\circ=2r\sqrt3.$$

При $$n=4$$

$$a_4=2R\sin 45^\circ=2R\cdot\frac{\sqrt2}{2}=R\sqrt2,$$

$$a_4=2r\tan 45^\circ=2r.$$

При $$n=6$$

$$a_6=2R\sin 30^\circ=2R\cdot\frac12=R,$$

$$a_6=2r\tan 30^\circ=2r\cdot\frac1{\sqrt3}=\frac{2r}{\sqrt3}.$$

Ответ: $$a_n=2R\sin\frac{180^\circ}{n}, \qquad a_n=2r\tan\frac{180^\circ}{n};$$

$$a_3=R\sqrt3=2r\sqrt3,\quad a_4=R\sqrt2=2r,\quad a_6=R=\frac{2r}{\sqrt3}.$$