Вопрос 16 Параграф 13 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Докажите, что отношение длины окружности к её диаметру не зависит от окружности.

Рассмотрим две произвольные окружности с радиусами $$R_1$$ и $$R_2$$ и длинами $$l_1$$ и $$l_2$$.

Предположим, что отношение длины окружности к её диаметру зависит от окружности. Тогда, например, можно считать, что

$$\frac{l_1}{2R_1}<\frac{l_2}{2R_2}.$$

Впишем в обе окружности правильные многоугольники с большим числом сторон $$n$$. При достаточно большом $$n$$ периметры этих многоугольников мало отличаются от длин соответствующих окружностей, поэтому неравенство сохранится и для периметров:

$$\frac{p_1}{2R_1}<\frac{p_2}{2R_2}.$$

Но для правильных многоугольников с одинаковым числом сторон их периметры пропорциональны радиусам описанных окружностей, то есть

$$\frac{p_1}{p_2}=\frac{R_1}{R_2},$$

откуда

$$\frac{p_1}{2R_1}=\frac{p_2}{2R_2}.$$

Получили противоречие. Значит, наше предположение неверно. Следовательно, отношение длины окружности к её диаметру не зависит от окружности.