Упр.11.16 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. В треугольник с основанием $$a$$ и высотой $$h$$ вписан квадрат так, что две его вершины лежат на основании треугольника, а другие две — на боковых сторонах (рис. 257). Вычислите сторону квадрата.

Обозначим сторону квадрата через $$x$$. Тогда $$DE=EF=FG=GD=x$$, а высота треугольника $$AH=h$$, основание $$BC=a$$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $$AHC$$ и $$FEC$$. У них общий угол при $$C$$, значит, они подобны. Тогда

$$\frac{AH}{FE}=\frac{HC}{EC}$$

то есть

$$\frac{h}{x}=\frac{HC}{EC}, \qquad HC=\frac{h}{x}\,EC.$$

Аналогично, из подобия прямоугольных треугольников $$AHB$$ и $$GDB$$ получаем

$$\frac{AH}{GD}=\frac{HB}{DB}$$

то есть

$$\frac{h}{x}=\frac{HB}{DB}, \qquad HB=\frac{h}{x}\,DB.$$

Сложим полученные равенства:

$$HC+HB=\frac{h}{x}(EC+DB).$$

Но $$HC+HB=BC=a$$, а $$EC+DB=BC-DE=a-x$$. Тогда

$$a=\frac{h}{x}(a-x).$$

Умножим на $$x$$:

$$ax=h(a-x)$$

$$ax=ah-hx$$

$$ax+hx=ah$$

$$x(a+h)=ah.$$

Следовательно,

$$x=\frac{ah}{a+h}.$$

Ответ: $$\frac{ah}{a+h}$$.