Вопрос 16 Параграф 11 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Докажите, что вписанный в окружность угол равен половине соответствующего центрального угла.

Рассмотрим два случая.

1. Пусть одна из сторон вписанного угла $$\angle ABC$$ проходит через центр окружности $$O$$. Тогда треугольник $$AOB$$ равнобедренный, так как $$AO=OB$$ как радиусы окружности. Значит,

   $$\angle ABO=\angle OAB.$$

   Сумма углов треугольника $$AOB$$ равна $$180^\circ$$, поэтому

   $$\angle AOB=180^\circ-2\angle ABO.$$

   Но точки $$A, O, C$$ лежат на одной прямой, значит,

   $$\angle AOB=180^\circ-\angle AOC.$$

   Следовательно,

   $$180^\circ-2\angle ABO=180^\circ-\angle AOC,$$

   откуда

   $$2\angle ABO=\angle AOC,$$

   то есть

   $$\angle ABC=\angle ABO=\frac{1}{2}\angle AOC.$$

2. Рассмотрим общий случай. Проведём через центр $$O$$ диаметр $$BD$$. Тогда по уже доказанному

   $$\angle ABD=\frac{1}{2}\angle AOD,$$

   $$\angle DBC=\frac{1}{2}\angle DOC.$$

   Так как

   $$\angle ABC=\angle ABD+\angle DBC,$$

   то

   $$\angle ABC=\frac{1}{2}\angle AOD+\frac{1}{2}\angle DOC=\frac{1}{2}\left(\angle AOD+\angle DOC\right).$$

   Но $$\angle AOD+\angle DOC=\angle AOC$$, значит

   $$\angle ABC=\frac{1}{2}\angle AOC.$$

Итак, вписанный в окружность угол равен половине соответствующего центрального угла.