Упр.9.16 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Доказать: прямая, содержащая биссектрису угла, является его осью
симметрии;
Доказательство:
1) Пусть дан угол O;
2) Отметим на одной из его сторон произвольную точку A;
3) Опустим из точки A перпендикуляр AM на биссектрису угла O;
4) Отметим точку B на пересечении этого перпендикуляра и второй
стороны угла;
5) В треугольнике AOB отрезок OM является биссектрисой и высотой,
значит треугольник AOB-равнобедренный с основанием AB, тогда отрезок OM
является еще и медианой, отсюда: AM=MB;
6) Таким образом, точки A и B симметричны относительно прямой OM,
а так как точка A-произвольная, то любая точка одной стороны угла
симметрична какой-нибудь точке другой его стороны относительно
прямой OM;
7) Значит, прямая OM является осью симметрии угла O, что и требовалось
Доказать.

Подробный ответ

Пусть дан угол с вершиной $$O$$, а прямая $$OM$$ содержит его биссектрису.

Возьмём на одной стороне угла произвольную точку $$A$$ и опустим из неё перпендикуляр $$AM$$ на прямую $$OM$$. Через точку $$M$$ проведём прямую, перпендикулярную $$OM$$; она пересечёт вторую сторону угла в точке $$B$$.

Тогда в треугольниках $$\triangle OAM$$ и $$\triangle OBM$$:

$$\angle OMA = \angle OMB = 90^\circ$$,
$$OM$$ — общая сторона,
$$\angle AOM = \angle MOB$$, так как $$OM$$ — биссектриса угла.

Следовательно, $$\triangle OAM \cong \triangle OBM$$ по стороне и двум прилежащим к ней углам. Отсюда

$$AM = MB.$$

Значит, точка $$M$$ — середина отрезка $$AB$$, а прямая $$OM$$ перпендикулярна $$AB$$. Следовательно, $$OM$$ является серединным перпендикуляром к отрезку $$AB$$, то есть точки $$A$$ и $$B$$ симметричны относительно прямой $$OM$$.

Так как точка $$A$$ была выбрана произвольно, любая точка одной стороны угла переходит при симметрии относительно прямой $$OM$$ в точку другой его стороны. Значит, прямая, содержащая биссектрису угла, является его осью симметрии.