Упр.9.16 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Докажите, что прямая, содержащая биссектрису угла, является его осью симметрии.

Подробный ответ

Пусть $$OM$$ — биссектриса угла $$AOB$$. Возьмём на стороне $$OA$$ произвольную точку $$A$$ и опустим из неё перпендикуляр $$AM$$ на прямую $$OM$$. Обозначим через $$B$$ точку пересечения этого перпендикуляра с другой стороной угла.

Рассмотрим треугольники $$\triangle OAM$$ и $$\triangle OBM$$. У них:

$$\angle OMA=\angle OMB=90^\circ$$,
$$\angle AOM=\angle MOB$$, так как $$OM$$ — биссектриса угла $$AOB$$,
$$OM$$ — общая сторона.

Следовательно, $$\triangle OAM \cong \triangle OBM$$ по стороне и двум прилежащим к ней углам. Отсюда $$AM=MB$$.

Значит, точка $$M$$ — середина отрезка $$AB$$, а прямая $$OM$$ перпендикулярна ему. Поэтому точки $$A$$ и $$B$$ симметричны относительно прямой $$OM$$.

Так как точка $$A$$ была выбрана произвольно, то любая точка одной стороны угла переходит при симметрии относительно прямой $$OM$$ в точку другой его стороны. Следовательно, прямая, содержащая биссектрису угла, является его осью симметрии.