Упр.5.16 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

2) Докажите, что через одну точку не может проходить больше двух касательных к окружности.
I) Отобразим условие задачи:
Дано: из точки M проведены две касательные MP и MQ;
Доказать: отрезки MP и MQ равны;
Доказательство:
1) Так как MP и MQ касательные к окружности: угол OQM = углу OPM=90°;
2) Отрезки OP и OQ равны как радиусы одной окружности;
3) Прямоугольные треугольники OQM и OPM равны по катету и
гипотенузе (OM-общая гипотенуза), отсюда MP=MQ, что и
требовалось доказать.
II)
Доказать: через одну точку не может проходить больше двух
касательных к окружности;
Доказательство:
1) Пусть даны окружность с центром в точке O1 и точка M, лежащая
вне этой окружности;
2) Допустим, что через точку M проходит три прямых, касающихся
окружности в точках A, B и C, тогда согласно пункту I этой задачи:
AM=BM=MC;
3) Значит точки A, B и C лежат на одной окружности с центром в
точке M, но две окружности не могут иметь более двух точек
пересечения (задача 14 пункт II), значит допущение неверно и через
одну точку можно провести не более двух касательных к окружности,
что и требовалось доказать.

Подробный ответ

I) Пусть из точки $$M$$ к окружности проведены касательные $$MP$$ и $$MQ$$, точки касания — $$P$$ и $$Q$$, центр окружности — $$O$$.

Так как касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания, то

$$\angle OPM=90^\circ,\qquad \angle OQM=90^\circ.$$

Кроме того, $$OP=OQ$$ как радиусы одной окружности, а $$OM$$ — общая гипотенуза треугольников $$OPM$$ и $$OQM$$.

Следовательно, прямоугольные треугольники $$OPM$$ и $$OQM$$ равны по гипотенузе и катету. Значит, соответствующие стороны равны:

$$MP=MQ.$$

II) Докажем, что через одну точку не может проходить больше двух касательных к окружности.

Пусть точка $$M$$ лежит вне окружности, и через неё проходят три касательные, касающиеся окружности в точках $$A$$, $$B$$ и $$C$$. Тогда по доказанному в пункте I имеем:

$$MA=MB=MC.$$

Значит, точки $$A$$, $$B$$ и $$C$$ лежат на окружности с центром в точке $$M$$ и радиусом $$MA$$. Но две окружности не могут иметь более двух общих точек. Следовательно, предположение о трёх касательных неверно.

Итак, через одну точку можно провести не более двух касательных к окружности.