Упр.4.16 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Дано: один из углов, которые образуются при пересечении двух
параллельных прямых секущей, равен 30°;
Выяснить: может ли один из оставшихся семи углов равняться 70°;
Решение:
1) Пронумеруем эти углы как показано на рисунке, тогда угол 1=30°;
2) угол 2 = углу 1 и угол 3 = углу 4 (как вертикальные);
3) угол 4 = углу 1 (как накрест лежащие углы при параллельных прямых и
секущей);
4) Следовательно угол 1 = углу 2 = углу 3 = углу 4=30°;
5) угол 1+ угол 6=180° (как внутренние односторонние углы при парал-
лельных прямых и секущей), тогда угол 6=180°- угол 1=150°;
6) угол 5 = углу 6 и угол 7 = углу 8 (как вертикальные);
7) угол 7 = углу 8 (как накрест лежащие углы при параллельных прямых и
секущей);
8) Следовательно угол 5 = углу 6 = углу 7 = углу 8=150°;
9) Таким образом, все углы равны либо 30° либо 150°;
Ответ: не может.

Обозначим данный угол через $$\angle 1$$. Тогда $$\angle 1=30^\circ$$.

При пересечении двух параллельных прямых секущей вертикальные и соответственные, а также накрест лежащие углы равны. Поэтому

$$\angle 2=\angle 1,\quad \angle 3=\angle 4,\quad \angle 4=\angle 1,$$

значит,

$$\angle 1=\angle 2=\angle 3=\angle 4=30^\circ.$$

Смежные с ними углы дополняют их до $$180^\circ$$, поэтому

$$\angle 1+\angle 6=180^\circ,$$

откуда

$$\angle 6=180^\circ-30^\circ=150^\circ.$$

Тогда по свойству вертикальных и накрест лежащих углов получаем:

$$\angle 5=\angle 6,\quad \angle 7=\angle 8,$$

следовательно,

$$\angle 5=\angle 6=\angle 7=\angle 8=150^\circ.$$

Итак, все восемь углов равны либо $$30^\circ$$, либо $$150^\circ$$. Угла $$70^\circ$$ среди них быть не может.

Ответ

Не может.