Упр.7.15 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Даны отрезки a и b. Как построить отрезок $$x=\sqrt{ab}$$?

Пусть даны отрезки $$a$$ и $$b$$, а также единичный отрезок $$\delta$$.

На одной стороне произвольного угла отложим $$OA=a$$, а на другой стороне — отрезки $$OO_1=\delta$$ и $$OB=b$$.

Через точку $$B$$ проведём прямую, параллельную $$AO_1$$, и пусть она пересечёт первую сторону угла в точке $$Y$$. Тогда по теореме о пропорциональных отрезках

$$\frac{OY}{OA}=\frac{OB}{OO_1},$$

откуда

$$OY=\frac{OB\cdot OA}{OO_1}=\frac{ab}{\delta}.$$

На произвольной прямой последовательно отложим отрезки $$AX=OY$$ и $$XB=\delta$$.

Построим перпендикуляр к прямой $$AB$$ в точке $$X$$ и отметим точку $$D$$ на пересечении этого перпендикуляра с полуокружностью с диаметром $$AB$$.

Треугольник $$ABD$$ прямоугольный, так как угол $$ADB$$ опирается на диаметр окружности. Тогда высота, проведённая из вершины прямого угла, равна среднему геометрическому проекций катетов на гипотенузу, значит

$$XD^2=AX\cdot XB.$$

Подставляя найденные отрезки, получаем

$$XD=\sqrt{AX\cdot XB}=\sqrt{\frac{ab}{\delta}\cdot \delta}=\sqrt{ab}.$$

Искомый отрезок построен.