Упр.13.15 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Доказать: середины сторон правильного n- угольника являются
вершинами другого правильного n- угольника;
Даказательство:
1) Пусть A1 A2 A3…An-данный правильный n- угольник, у него все
стороны и все внутренние углы равны;
2) Соединим середины B1, B2, …, Bn сторон данного многоугольника, так
как всего сторон n, то получим n- угольник;
3) Рассмотрим равнобедренные треугольники B1 A2 B2, B2 A3 B3 и B3 A4 B4:
угол A2 = углу A3 = углу A4 и B1 A2=A2 B2=B2 A3=A3 B3=B4 A4=A4 B4;
Значит, эти три треугольника равны по первому признаку, отсюда:
B1 B2=B2 B3=B3 B4;
4) Из равенств:
угол B1 B2 B3=180°- угол B1 B2 A2- угол A3 B2 B3;
угол B2 B3 B4=180°- угол B2 B3 A3- угол A4 B3 B4;
Следует, что углы B1 B2 B3 и B2 B3 B4 равны;
5) Аналогично доказывается, что любые две стороны полученного
n- угольника равны, и углы между его соседними сторонами тоже равны,
значит этот многоугольник является правильным по определению, что
и требовалось доказать.

Подробный ответ

Пусть $$A_1A_2A_3\dots A_n$$ — данный правильный $$n$$-угольник, а $$B_1, B_2, \dots, B_n$$ — середины его сторон $$A_1A_2, A_2A_3, \dots, A_nA_1$$ соответственно. Соединим точки $$B_1, B_2, \dots, B_n$$ по порядку.

Так как у правильного многоугольника все стороны равны и все внутренние углы равны, то

$$A_1A_2=A_2A_3=\dots=A_nA_1,$$

$$\angle A_1=\angle A_2=\dots=\angle A_n.$$

Рассмотрим треугольники $$B_1A_2B_2$$, $$B_2A_3B_3$$ и $$B_3A_4B_4$$. В них

$$A_2B_1=B_1A_2,\quad A_2B_2=B_2A_3,\quad A_3B_3=B_3A_4,\quad A_4B_4=B_4A_5,$$

поскольку точки $$B_1, B_2, B_3, B_4$$ — середины соответствующих сторон, а также

$$A_2A_3=A_3A_4,\qquad \angle A_2=\angle A_3=\angle A_4.$$

Следовательно, эти треугольники равны по двум сторонам и углу между ними. Отсюда

$$B_1B_2=B_2B_3=B_3B_4.$$

Теперь найдём углы между соседними сторонами полученного многоугольника. Имеем

$$\angle B_1B_2B_3=180^\circ-\angle B_1B_2A_2-\angle A_3B_2B_3,$$

$$\angle B_2B_3B_4=180^\circ-\angle B_2B_3A_3-\angle A_4B_3B_4.$$