Упр.5.15 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
- Через точку $$A$$ окружности с центром $$O$$ проведена прямая, не касающаяся окружности. $$OB$$ — перпендикуляр, опущенный на данную прямую. На продолжении отрезка $$AB$$ отложен отрезок $$BC$$, равный отрезку $$AB$$. Докажите, что точка $$C$$ лежит на окружности.
- Докажите, что если прямая имеет с окружностью только одну общую точку, то она является касательной к окружности в этой точке.
- Докажите, что если две окружности имеют только одну общую точку, то они касаются в этой точке.
1) Пусть через точку $$A$$ окружности с центром $$O$$ проведена прямая, не касающаяся окружности. Из точки $$O$$ опущен перпендикуляр $$OB$$ на эту прямую, а на продолжении отрезка $$AB$$ отложен отрезок $$BC$$, равный $$AB$$.
Рассмотрим треугольник $$AOC$$. Так как $$OB \perp AC$$, то $$OB$$ — высота этого треугольника. Кроме того, из условия $$AB=BC$$ следует, что точка $$B$$ — середина отрезка $$AC$$, значит $$OB$$ — медиана треугольника $$AOC$$.
Если в треугольнике высота одновременно является медианой, то треугольник равнобедренный. Следовательно,
$$AO=OC.$$
Но $$AO$$ — радиус окружности, а значит и $$OC$$ равен радиусу. Поэтому точка $$C$$ лежит на данной окружности.
2) Пусть прямая имеет с окружностью только одну общую точку $$A$$. Докажем, что она является касательной.
Предположим противное: прямая не является касательной. Тогда она не перпендикулярна радиусу $$OA$$. Из точки $$O$$ можно опустить на эту прямую перпендикуляр $$OB$$, а на продолжении $$AB$$ отложить отрезок $$BC=AB$$.
По пункту 1 точка $$C$$ тоже лежит на окружности. Значит, прямая имеет с окружностью как минимум две общие точки $$A$$ и $$C$$, что противоречит условию.
Следовательно, предположение неверно, и прямая является касательной к окружности в точке $$A$$.
3) Пусть две окружности с центрами $$O$$ и $$O_1$$ имеют только одну общую точку $$A$$. Докажем, что они касаются в этой точке.
Предположим, что точки $$O$$, $$A$$ и $$O_1$$ не лежат на одной прямой. Тогда можно рассмотреть треугольник $$OO_1A$$ и построить точку $$A_1$$, симметричную точке $$A$$ относительно прямой $$OO_1$$.
Так как при отражении относительно прямой $$OO_1$$ расстояния до точек $$O$$ и $$O_1$$ сохраняются, то
$$OA_1=OA,\qquad O_1A_1=O_1A.$$
Следовательно, точка $$A_1$$ лежит на обеих окружностях. Это противоречит тому, что у окружностей только одна общая точка.
Значит, точки $$O$$, $$A$$ и $$O_1$$ лежат на одной прямой. Тогда общая точка $$A$$ лежит на прямой центров, а значит окружности касаются в точке $$A$$.
